Question

某市建一过街桥，两端的桥墩相距m米，此工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩（包括两端的桥墩），经测算，一个桥墩的费用为32万元，相邻两个桥墩之间的距离均为x，且相邻两个桥墩之间的桥面工程费用为（1+

x

）x万元，假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其它因素，记余下工程的费用为y万元．
（1）试写出y关于x的函数关系式；
（2）当m=80米时，需要新建多少个桥墩才能使y最小？

Answer 1

考点：函数模型的选择与应用

专题：应用题,函数的性质及应用

分析：（1）根据题意设出桥墩和桥面工程量，然后根据题意建立工程总费用与工程量的函数关系．
（2）当m=80米时，代入已知函数表达式，求出此时的函数表达式，利用基本不等式求出最值以及此时x的值．

解答： 解：（1）由题意得，y=（

m

x

+1）•32+（1+

x

）x•

m

x

=m（

32

x

+

x

）+32+m；
（2）当m=80时，
y=80（

32

x

+

x

）+112≥80×3

3	32 x • x 2 • x 2

=480；
当且仅当

32

x

=

x

2

，即x=16时，等号成立；
故当m=80米时，需要新建4个桥墩才能使y最小．

点评：本题考查函数模型的选择与应用，通过对实际问题的分析，构造数学模型从而解决问题．本题需要构建一个工程总费用与工程量的函数关系．并注明取值范围．需要对知识熟练的掌握并应用，属于中档题．