题目内容
10．每逢节假日，在微信好友群发红包逐渐成为一种时尚，2016年春节期间，小张在自己的微信校友群，向在线的甲、乙、丙、丁四位校友随机发放红包，发放的规则为：每次发放1个，每个人抢到的概率相同．（1）若小张随机发放了3个红包，求甲至少得到1个红包的概率；
（2）小张在丁离线后随机发放了3个红包，其中2个红包中各有5元，1个红包中有10元，记乙所得红包的总钱数为X元，求X的分布列和数学期望．
分析 （1）设“甲至少得1红包”为事件A，由题意利用n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率计算公式能求出甲至少得到1个红包的概率．
（2）由题意知X的可能取值为0，5，10，15，20，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和数学期望．
解答 解：（1）设“甲至少得1红包”为事件A，由题意得：
P（A）=${C}_{3}^{1}$×$\frac{1}{4}$×（$\frac{3}{4}$）2+${C}_{3}^{2}$×$（\frac{1}{4}）^{2}$×$\frac{3}{4}$+${C}_{3}^{3}$×（$\frac{1}{4}$）3×（$\frac{3}{4}$）0=$\frac{37}{64}$．
（2）由题意知X的可能取值为0，5，10，15，20，
P（X=0）=（$\frac{2}{3}$）3=$\frac{8}{27}$，
P（X=5）=${C}_{2}^{1}×\frac{1}{3}×（\frac{2}{3}）^{2}$=$\frac{8}{27}$，
P（X=10）=（$\frac{1}{3}$）2×$\frac{2}{3}$+（$\frac{2}{3}$）2×$\frac{1}{3}$=$\frac{2}{9}$，
P（X=15）=${C}_{2}^{1}（\frac{1}{3}）^{2}×\frac{2}{3}$=$\frac{4}{27}$，
P（X=20）=$（\frac{1}{3}）^{3}$=$\frac{1}{27}$，
∴X的分布列为：
| X | 0 | 5 | 10 | 15 | 20 |
| P | $\frac{8}{27}$ | $\frac{8}{27}$ | $\frac{2}{9}$ | $\frac{4}{27}$ | $\frac{1}{27}$ |
点评 本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列的性质、数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率计算公式的合理运用．
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