Question

20．已知不等式2x+4$\sqrt{xy}$≤a（x+y）对任意正数x，y都成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 由题意化简可得a≥$\frac{2x+4\sqrt{xy}}{x+y}$=$\frac{2+4\sqrt{\frac{y}{x}}}{1+\frac{y}{x}}$，令t=$\sqrt{\frac{y}{x}}$，t＞0；从而可得$\frac{2+4\sqrt{\frac{y}{x}}}{1+\frac{y}{x}}$=2•$\frac{1+2t}{1+{t}^{2}}$，再令1+2t=m，则2•$\frac{1+2t}{1+{t}^{2}}$=2•$\frac{m}{1+（\frac{m-1}{2}）^{2}}$=2•$\frac{4}{m+\frac{5}{m}-2}$，从而利用基本不等式求得．

解答 解：∵x＞0，y＞0，2x+4$\sqrt{xy}$≤a（x+y），
∴a≥$\frac{2x+4\sqrt{xy}}{x+y}$=$\frac{2+4\sqrt{\frac{y}{x}}}{1+\frac{y}{x}}$，
令t=$\sqrt{\frac{y}{x}}$，t＞0；
则$\frac{2+4\sqrt{\frac{y}{x}}}{1+\frac{y}{x}}$=$\frac{2+4t}{1+{t}^{2}}$=2•$\frac{1+2t}{1+{t}^{2}}$，
令1+2t=m，则t=$\frac{m-1}{2}$，m＞1；
2•$\frac{1+2t}{1+{t}^{2}}$=2•$\frac{m}{1+（\frac{m-1}{2}）^{2}}$=2•$\frac{4}{m+\frac{5}{m}-2}$，
∵m+$\frac{5}{m}$≥2$\sqrt{5}$，（当且仅当m=$\sqrt{5}$时，等号成立）；
故（2•$\frac{4}{m+\frac{5}{m}-2}$）_max=2•$\frac{4}{2\sqrt{5}-2}$=$\sqrt{5}$+1，
故a≥$\sqrt{5}$+1．

点评 本题考查了恒成立问题的应用及基本不等式的应用，同时考查了换元法的应用．