Question

2．已知△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且5sin²A+5sin²B-5sin²C+6sinAsinB=0，且ab=15．
（1）求cosC；
（2）求边c的最小值．

Answer 1

分析 （1）由已知条件和正弦定理可得a²+b²-c²=-$\frac{6}{5}$ab，代入余弦定理可得cosC；
（2）由余弦定理和基本不等式可得c²≥48，开方可得答案．

解答 解：（1）∵△ABC中5sin²A+5sin²B-5sin²C+6sinAsinB=0，
∴由正弦定理可得5a²+5b²-5c²+6ab=0，∴a²+b²-c²=-$\frac{6}{5}$ab
∴cosC=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$=-$\frac{3}{5}$；
（2）由余弦定理可得c²=a²+b²-2abcosC=a²+b²+$\frac{6}{5}$ab
≥2ab+$\frac{6}{5}$ab=$\frac{16}{5}$ab=$\frac{16}{5}$×15=48，
当且仅当a=b=$\sqrt{15}$时取等号．
∴边c的最小值为$\sqrt{48}$=4$\sqrt{3}$

点评 本题考查正余弦定理解三角形，涉及基本不等式求最值，属中档题．