定义在R上的函数f=$\frac{1}{2}$f=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}-2{x}^{2}.0≤x＜1}\\{-{2}^{1-|x-\frac{3}{2}|}.1≤x＜2}\end{array}\right.$.函数g(x)=(2x-x2)ex+m.若?x1∈[-4.-2).?x2∈[-1.2].使得不等式f(x1)-g(x2)≥0� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

19．定义在R上的函数f（x）满足f（x+2）=$\frac{1}{2}$f（x），当x∈[0，2）时，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}-2{x}^{2}，0≤x＜1}\\{-{2}^{1-|x-\frac{3}{2}|}，1≤x＜2}\end{array}\right.$，函数g（x）=（2x-x²）e^x+m，若?x₁∈[-4，-2），?x₂∈[-1，2]，使得不等式f（x₁）-g（x₂）≥0成立，则实数m的取值范围是（　　）

A．

（-∞，-8]

B．

（-∞，$\frac{3}{e}$+8]

C．

[$\frac{3}{e}$-8，+∞）

D．

（-∞，$\frac{3}{e}$-8]

分析由f（x+2）=$\frac{1}{2}$f（x）得f（-$\frac{1}{2}$）=2f（$\frac{3}{2}$）=2×（-2）=-4，x∈[-4，-3]，f（-$\frac{5}{2}$）=2f（-$\frac{1}{2}$）=-8，?x₁∈[-4，2），f（x₁）_最小=-8，借助导数求出g（t）_最小，不等式f（x₁）-g（x₂）≥0恒成立，得出f（x₁）_最小≥g（x₂）_最小，求解即可．

解答解：∵当x∈[0，2）时，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{2}-2{x^2}，\;0≤x＜1\\-\;{2^{1-\;|\;x\;-\;\;\frac{3}{2}\;|}}，\;\;1≤x＜2.\end{array}\right.$，
∴x∈[0，2），f（0）=$\frac{1}{2}$为最大值，
∵f（x+2）=$\frac{1}{2}$f（x），
∴f（x）=2f（x+2），
∵x∈[-2，0]，
∴f（-2）=2f（0）=2×$\frac{1}{2}$=1，
∵x∈[-4，-3]，
∴f（-4）=2f（-2）=2×1=2，
∵?x₁∈[-4，2），
∴f（x₁）_最大=2，
∵f（x）=2f（x+2），
x∈[-2，0]，
∴f（-$\frac{1}{2}$）=2f（$\frac{3}{2}$）=2×（-2）=-4，
∵x∈[-4，-3]，
∴f（-$\frac{5}{2}$）=2f（-$\frac{1}{2}$）=-8，
∵?x₁∈[-4，2），
∴f（x₁）_最小=-8，
∵函数g（x）=（2x-x²）e^x+m，
∴g′（x）=（2-x²）e^x，
由g′（x）=（2-x²）e^x=0，得2-x²=0，
得x=$\sqrt{2}$，或x=-$\sqrt{2}$，
当-1≤x≤$\sqrt{2}$时，g′（x）＞0，
当$\sqrt{2}$≤x≤2时，g′（x）＜0，
则g（2）=m，g（-1）=-$\frac{3}{e}$+m，
则当x₂∈[-1，2]时，
g（x₂）_最小=g（-1）=-$\frac{3}{e}$+m，
∵不等式等式f（x₁）-g（x₂）≥0成立，
∴-8≥-$\frac{3}{e}$+m，
故实数满足：m≤$\frac{3}{e}$-8，
故选：D．