Question

【题目】已知中心在原点O，左焦点为F1(－1,0)的椭圆C的左顶点为A，上顶点为B，F1到直线AB的距离为|OB|.

(1)求椭圆C的方程；

(2)如图，若椭圆，椭圆，则称椭圆C2是椭圆C1的λ倍相似椭圆．已知C2是椭圆C的3倍相似椭圆，若椭圆C的任意一条切线l交椭圆C2于两点M、N，试求弦长|MN|的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】试题分析：(1)设出椭圆的标准方程，写出直线方程，利用点到直线的距离公式和几何元素间的关系进行求解；(2)先写出相似椭圆的方程，设出直线方程，联立直线和椭圆的方程，得到关于的一元二次方程，利用根与系数的关系、距离公式进行求解.

试题解析：(1)设椭圆C的方程为，

∴直线AB的方程为＋＝1.

∴F1(－1,0)到直线AB距离d＝＝b，

整理得a2＋b2＝7(a－1)2，

又b2＝a2－1，解得a＝2，b＝，

∴椭圆C的方程为＋＝1.

(2)椭圆C的3倍相似椭圆C2的方程为＋＝1，

①若切线l垂直于x轴，则其方程为x＝±2，易求得|MN|＝2；

②若切线l不垂直于x轴，可设其方程为y＝kx＋p，

将y＝kx＋p代入椭圆C的方程，

得(3＋4k2)x2＋8kpx＋4p2－12＝0，

∴Δ＝(8kp)2－4(3＋4k2)(4p2－12)＝48(4k2＋3－p2)＝0，

即p2＝4k2＋3.(*)

记M、N两点的坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)，

将y＝kx＋p代入椭圆C2的方程，

得(3＋4k2)x2＋8kpx＋4p2－36＝0，

此时x1＋x2＝－，x1x2＝，

∴|x1－x2|＝，

∴|MN|＝·

＝4＝2，

∵3＋4k2≥3，∴1<1＋≤，

即2<2≤4，

结合①②，得弦长|MN|的取值范围为[2，4]．