Question

【题目】如图所示， 与四边形所在平面垂直，且.

（1）求证： ；

（2）若为的中点，设直线与平面所成角为，求.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】试题分析：（1）由三角形全等即等腰三角形的性质可得由线面垂直的性质可得 ，从而平面，由此能证明.（2）分别以所在直线为轴，过且平行于的直线为轴建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量及直线的方向向量，根据空间向量夹角余弦公式及同角三角函数之间的关系，可得结果.

试题解析：(1)证明：由PA⊥平面ABCD，AB＝AD，可得PB＝PD，

又BC＝CD，PC＝PC，所以△PBC≌△PDC，所以∠PBC＝∠PDC.

因为PD⊥DC，所以PB⊥BC.3分

因为PA⊥平面ABCD，BC平面ABCD，

所以PA⊥BC.

又PA∩PB＝P，所以BC⊥平面PAB.

因为AB平面PAB，所以AB⊥BC.5分

(2)由BD＝BC＝CD，AB⊥BC，可得∠ABD＝30°，

又已知AB＝AD，BD＝PA＝，所以AB＝1.

如图所示，分别以BC，BA所在直线为x，y轴，过B且平行于PA的直线为z轴建立空间直角坐标系，

则B(0，0，0)，P(0，1， )，C(，0，0)，E（， ， ），D（， ，0），所以＝（， ，－ )， ＝(， ， )， ＝(， ，0).

设平面BDE的法向量n＝(x，y，z)，

则,即取z＝－2，得n＝(3，－ ，－2)，

所以sin θ＝.