Question

【题目】已知函数f(x)＝xlnx和g(x)＝m(x2－1)(m∈R)．

(1)m＝1时，求方程f(x)＝g(x)的实根；

(2)若对任意的x∈(1，＋∞)，函数y＝g(x)的图象总在函数y＝f(x)图象的上方，求m的取值范围；

(3)求证： ＋＋…＋>ln(2n＋1) (n∈N*)．

Answer 1

【答案】(1)见解析(2) .(3) 见解析

【解析】试题分析：（1）代入时， ，即，整理方程得，利用导数判断函数的单调性为递减函数，故最多有一个零点，而，故方程有唯一的实根；（2）对于任意的, 恒成立，通过构造函数，利用导函数判断函数的单调性， ，通过讨论，判断是否符合题意；（3）由（2）知，当时， 时， 成立，结合题型，构造不妨令，得出，利用累加可得结论.

试题解析：(1) 时， ，即，而，所以方程即为.

令，则，而，故方程有唯一的实根.

(2)对于任意的，函数的图象总在函数图象的上方，

即， ，即，

设，即， ，则

①若，则， ，这与题设矛盾．

若，方程的判别式，

当，即时，

∴在上单调递减，

∴，即不等式成立．

当，即时，方程有两个实根，设两根为， 且，则

∴方程有两个正实根且

当时， ， 单调递增， 与题设矛盾．

综上所述，实数的取值范围是.

(3)证明　由(2)知，当时， 时， 成立．

不妨令

∴，即

∴，累加可得