题目内容
9．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosα+1}\\{y=2sinα}{\;}\end{array}\right.$（α为参数）．以平面直角坐标系的原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=4sinθ．（Ⅰ）求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；
（Ⅱ）求曲线C1和C2公共弦的长度．
分析 （I）曲线C1的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosα+1}\\{y=2sinα}{\;}\end{array}\right.$（α为参数），利用cos2α+sin2α=1消去参数α可得普通方程．曲线C2的极坐标方程为ρ=4sinθ，即ρ2=4ρsinθ，利用ρ2=x2+y2，y=ρsinθ，即可化为直角坐标方程．
（II）两圆的直角坐标方程相减可得公共弦所在的直线方程：2x-4y+3=0．求出圆心C1到公共弦所在的直线的距离d．利用公共弦长=2$\sqrt{{r}_{1}^{2}-{d}^{2}}$即可得出．
解答 解：（I）曲线C1的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosα+1}\\{y=2sinα}{\;}\end{array}\right.$（α为参数），消去参数α可得普通方程：（x-1）2+y2=4，即x2+y2-2x=3．
曲线C2的极坐标方程为ρ=4sinθ，即ρ2=4ρsinθ，可得直角坐标方程：x2+y2=4y，配方为x2+（y-2）2=4．
（II）x2+y2-2x=3与x2+y2=4y相减可得公共弦所在的直线方程：2x-4y+3=0．
圆心C1（1，0）到公共弦所在的直线的距离d=$\frac{|2+3|}{\sqrt{{2}^{2}+（-4）^{2}}}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$．
∴公共弦长=2$\sqrt{{2}^{2}-（\frac{\sqrt{5}}{2}）^{2}}$=$\sqrt{11}$．
点评 本题考查了极坐标与直角坐标方程的互化、参数方程化为普通方程、两相交圆的公共弦长、点到直线的距离公式公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
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