Question

已知函数f（x）=-

3

asin2x-2acos²x+3a+b，x∈[

π

4

，

3π

4

]，是否存在常数a，b∈Q，其中Q为有理数，使得f（x）的值域为[-

3

，

3

-1]，若存在，求出对应的a，b的值，若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：三角函数的最值,三角函数中的恒等变换应用

专题：三角函数的图像与性质

分析：函数f（x）=-

3

asin2x-2acos²x+3a+b=-

3

asin2x-a(1+cos2x)+3a+b=-2asin(2x+

π

6

)+2a+b．由于x∈[

π

4

，

3π

4

]，可得(2x+

π

6

)∈[

2π

3

，

5π

3

].sin(2x+

π

6

)∈[-1，

3

2

]．对a分类讨论即可得出．

解答： 解：函数f（x）=-

3

asin2x-2acos²x+3a+b=-

3

asin2x-a(1+cos2x)+3a+b
=-2a(

3

2

sin2x+

1

2

cos2x)+2a+b
=-2asin(2x+

π

6

)+2a+b．
∵x∈[

π

4

，

3π

4

]，
∴(2x+

π

6

)∈[

2π

3

，

5π

3

]．
∴sin(2x+

π

6

)∈[-1，

3

2

]．
①当a＞0时，-

3

a+2a+b≤f（x）≤4a+b，假设存在常数a，b∈Q，其中Q为有理数，使得f（x）的值域为[-

3

，

3

-1]，
则

- 3 a+2a+b=- 3 4a+b= 3 -1

，解得a=5

3

-8，舍去；
②当a＜0时，4a+b≤f（x）≤-

3

a+2a+b，假设存在常数a，b∈Q，其中Q为有理数，使得f（x）的值域为[-

3

，

3

-1]，
则

4a+b=- 3 - 3 a+2a+b= 3 -1

，解得a=-

3

-2，舍去；
③当a=0时，舍去．
综上可得：不存在常数a，b∈Q，其中Q为有理数，使得f（x）的值域为[-

3

，

3

-1]．

点评：本题考查了三角函数的图象与性质、倍角公式、两角和差的正弦公式、分类讨论的思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．