Question

A是单位圆与x轴正半轴的交点，B，P为圆上不同点，∠AOP=60°，∠AOB=θ，0≤θ＜2π，
（1）当θ为何值时

AP

=

OB

；
（2）若

QO

=

OA

+

OB

，且点Q在单位圆上求点Q的坐标；
（3）设a

OB

+

OP

的横坐标为f（θ），求f（θ）+2cos²θ的最小值．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算,三角函数线

专题：平面向量及应用

分析：（1）由题意可得

AP

=（-

1

2

，

3

2

），

OB

=（cosθ，sinθ），可得当cosθ=-

1

2

，sinθ=

3

2

，

AP

=

OB

，并结合θ的范围，求得θ的值．
（2）设点Q（x，y），则

OA

+

OB

=（1+cosθ，sinθ），-x=1+cosθ，-y=sinθ，再由x²+y²=1求得cosθ 的值，可得θ的值．
（3）求得 a

OB

+

OP

的横坐标为f（θ）=a•cosθ+

1

2

，可得f（θ）+2cos²θ=2(cosθ+

a

2

)2+

1

2

-

a2

8

，再分对称轴cosθ=-

a

2

在区间[-1，1]的左侧、中间、右侧三种情况，分别求得f（θ）+2cos²θ的最小值．

解答： 解：（1）由题意可得A（1，0）、P（cos60°，sin60°）、B（cosθ，sinθ），
 

AP

=（cos60°-1，sin60°-0）=（-

1

2

，

3

2

），

OB

=（cosθ，sinθ），
故当cosθ=-

1

2

，sinθ=

3

2

，即θ=

2π

3

时，

AP

=

OB

．
（2）∵

QO

=

OA

+

OB

，设点Q（x，y），则

OA

+

OB

=（1+cosθ，sinθ），

QO

=（-x，-y），
∴-x=1+cosθ，-y=sinθ，∴x²+y²=（1+cosθ）²+sin²θ=1，求得cosθ=-

1

2

，∴θ=

2π

3

．
（3）∵a

OB

+

OP

的横坐标为f（θ）=a•cosθ+

1

2

，
∴f（θ）+2cos²θ=a•cosθ+

1

2

+2cos²θ=2(cosθ+

a

2

)2+

1

2

-

a2

8

，
当-

a

2

＜-1时，f（θ）+2cos²θ的最小值为 2(-1+

a

2

)2+

1

2

-

a2

8

；
当-1≤-

a

2

≤1时，f（θ）+2cos²θ的最小值为

1

2

-

a2

8

；
当-

a

2

＞1时，f（θ）+2cos²θ的最小值为 2(1+

a

2

)2+

1

2

-

a2

8

．

点评：本题考查圆的参数方程，着重考查共线向量坐标间的关系及点在单位圆上，其坐标满足圆的方程的应用，属于基础题．