Question

15．设函数f（x）=2sin（ωx-$\frac{π}{3}$），已知f（α）=-2，f（β）=0，且|α-β|的最小值是$\frac{π}{4}$，现将y=f（x）的图象向左平移φ（φ＞0）个单位，所得函数图象关于y轴对称，则φ的最小值是（　　）

• A． $\frac{π}{3}$
• B． $\frac{π}{4}$
• C． $\frac{π}{12}$
• D． $\frac{5π}{12}$

Answer 1

分析 由条件利用正弦函数的图象和性质求得函数的解析式，再根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数、余弦函数的图象的对称性求得φ的最小值．

解答 解：设函数f（x）=2sin（ωx-$\frac{π}{3}$），已知f（α）=-2，f（β）=0，且|α-β|的最小值是$\frac{π}{4}$，
∴$\frac{1}{4}$•$\frac{2π}{ω}$=$\frac{π}{4}$，∴ω=2，f（x）=2sin（2x-$\frac{π}{3}$）．
且2α-$\frac{π}{3}$=2kπ-$\frac{π}{2}$，2β-$\frac{π}{3}$=2kπ+0，k∈Z．
现将y=f（x）的图象向左平移φ（φ＞0）个单位，
所得函数y=2sin[2（x+φ）-$\frac{π}{3}$]=2sin（2x+2φ-$\frac{π}{3}$）的图象．
根据所得关于y轴对称，可得2φ-$\frac{π}{3}$=nπ+$\frac{π}{2}$，即φ=$\frac{nπ}{2}$+$\frac{5π}{12}$，n∈Z，则φ的最小值是$\frac{5π}{12}$，
故选：D．

点评 本题主要考查正弦函数的图象和性质，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数、余弦函数的图象的对称性，属于中档题．