Question

10．不等式选讲已知函数f（x）=|2x+a|-a
（1）当a=2时，求不等式f（x）≤6的解集；
（2）设函数g（x）=|2x-1|，当x∈R时f（x）+g（x）≥3，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）当a=2时，解不等式|2x+2|-2≤6得-5≤x≤3，即可求不等式f（x）≤6的解集；
（2）当x∈R时，f（x）+g（x）=|2x+a|-a+|2x-1|≥|2x+a+1-2x|-a=|a+1|-a，当$x=\frac{1}{2}$时等号成立，所以当x∈R时f（x）+g（x）≥3等价于|a+1|-a≥3，即可求a的取值范围．

解答 解：（1）当a=2时，f（x）=|2x+2|-2
解不等式|2x+2|-2≤6得-5≤x≤3
因此不等式f（x）≤6的解集为{x|-5≤x≤3}…（5分）
（2）当x∈R时，f（x）+g（x）=|2x+a|-a+|2x-1|≥|2x+a+1-2x|-a=|a+1|-a
当$x=\frac{1}{2}$时等号成立，所以当x∈R时f（x）+g（x）≥3等价于|a+1|-a≥3
当a≤-1时，a≤-2
当a＞-1时，无解，
所以a∈（-∞，-2]…（10分）

点评 本题考查绝对值不等式的解法，考查绝对值不等式，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．