Question

【题目】已知函数，.

（1）讨论的单调性；

（2）若，求证：当时，.

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）见解析

【解析】分析：（1）依题意，的定义域为，，分类讨论可求的单调性；

（2）当时，要证明，即证明，

只需证明.

设，利用导数研究其性质，

即可证明

详解：

（1）依题意，的定义域为，，

（1）当时，，在单调递减；

（2）当时，当时，；当时，；

所以在单调递减，在单调递增；

（3）当时，当时，；当时，；

所以在单调递增，在单调递减；

综上，当时，在单调递减；

当时，在单调递减，在单调递增；

当时，在单调递增，在单调递减.

（2）当时，要证明，

即证明，

因为，所以只需证明，

只需证明.

设，

则，

设，则，

所以当时，；当时，；

所以在单调递减，在单调递增；

所以，

所以当时，；当时，；

所以在单调递减，在单调递增；

所以，

所以当时，.