Question

已知函数f（x）=ax³-

3

2

（a+2）x²+6x-3．
（1）当a＞2时，求函数f（x）的极小值；
（2）当a＜2时，试讨论方程f（x）=0根的个数．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,利用导数研究函数的单调性

专题：计算题,导数的综合应用

分析：（1）求出导数，并分解因式，画表求出单调区间和极值，求出a＞2的极小值；
（2）当a=0时，显然f（x）=-3x²+6x-3只有一个零点；
当a≠0时，f′（x）=3a（x-

2

a

）（x-1），分别讨论a＜0，0＜a＜2，函数的单调区间和零点个数．

解答： 解：f′（x）=3ax²-3（a+2）x+6=3（ax-2）（x-1），
（1）当a＞2时，0＜

2

a

＜1

	（-∞， 2 a ）	2 a	（ 2 a ，1）	1	（1，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	增	极大值	减	极小值	增

∴f_极小值=f（1）=-

a

2

；
（2）当a=0时，显然f（x）=-3x²+6x-3只有一个零点；
当a≠0时，f′（x）=3a（x-

2

a

）（x-1）
当a＜0时，f（x）在（-∞，

2

a

），（1，+∞）递减；在（

2

a

，1）递增，f（1）＞0，f（

2

a

）＜0
则f（x）有三个零点．
当0＜a＜2时，f（x）在（-∞，1），（

2

a

，+∞）递增；在（1，

2

a

）递减，f（1）＜0，f（

2

a

）＜0
则f（x）只有一个零点．
综上所述：当0≤a＜2时，f（x）只有一个零点；
当a＜0时，f（x）有三个零点．

点评：本题考查导数在函数中的运用，考查运用导数求单调区间和极值，函数的零点问题，属于中档题．