题目内容
F1、F2分别是椭圆
+
=1（a＞b＞0）的左、右焦点，M，N分别为其短釉的两个端点，且四边形MF1NF2的周长为4设过F1的直线l与E相交于A，B两点，且|AB|=
，则|AF2|•|BF2|的最大值为 ．
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
| 4 |
| 3 |
考点：直线与圆锥曲线的关系
专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程
分析：利用椭圆的定义，结合四边形的周长，及|AB|的长，利用基本不等式，即可求|AF2|•|BF2|的最大值．
解答：
解：∵四边形MF1NF2为菱形，周长为4，∴a=1
由椭圆的定义可知|AF2|+|AB|+|BF2|=4a=4，
∵|AB|=
，∴|AF2|+|BF2|=
∴|AF2|•|BF2|≤(
)2=
，
当且仅当|AF2|=|BF2|=
时，等号成立，即|AF2|•|BF2|的最大值为
．
故答案为：
．
由椭圆的定义可知|AF2|+|AB|+|BF2|=4a=4，
∵|AB|=
| 4 |
| 3 |
| 8 |
| 3 |
∴|AF2|•|BF2|≤(
| |AF2|+|BF2| |
| 2 |
| 16 |
| 9 |
当且仅当|AF2|=|BF2|=
| 4 |
| 3 |
| 16 |
| 9 |
故答案为：
| 16 |
| 9 |
点评：本题考查椭圆的定义，考查基本不等式的运用，考查直线与椭圆的位置关系，属于中档题．
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