Question

函数f（x）=lnx，g（x）=

1

2

ax²+bx（a≠0）．
（1）若a=-2时，函数h（x）=f（x）-g（x）在其定义域内是增函数，求b的取值范围；
（2）若a=2，b=1，若函数y=g（x）-2f（x）-x²-k在[1，3]上恰有两个不同零点，求实数k的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：（1）由已知得h（x）=lnx+x²-bx，且h（x）的定义域为（0，+∞），h′(x)=

1

x

+2x-b≥0对x∈（0，+∞）恒成立，由此利用导数性质能求出b的取值范围．
（2）函数k（x）=g（x）-2f（x）-x²在[1，3]上恰有两个不同的零点等价于方程x-2lnx=a在[1，3]上恰有两个相异实根．由此构造函数利用导数性质能求出实数k的取值范围．

解答： 解：（1）∵f（x）=lnx，g（x）=

1

2

ax²+bx（a≠0），h（x）=f（x）-g（x），
∴h（x）=lnx+x²-bx，且h（x）的定义域为（0，+∞），
∴h′(x)=

1

x

+2x-b≥0对x∈（0，+∞）恒成立，
∴b≤

1

x

+2x，∵x＞0，∴

1

x

+2x≥2

2

，
当且仅当x=

1

x

时，即x=

2

2

时，取等号，
∴b≤2

2

．
（2）函数k（x）=g（x）-2f（x）-x²在[1，3]上恰有两个不同的零点，
等价于方程x-2lnx=a在[1，3]上恰有两个相异实根．
令t（x）=x-2lnx，则t′(x)=1-

2

x

，
当x∈[1，2]时，t′（x）0，
t（x）在[1，2]上是单调递减函数，
在（2，3]上是单调递增函数，
∴t（x）_min=t（2）=2-2ln2，
又t（1）=1，t（3）=3-2ln3，
∵t（1）＞t（3），∴只需t（2）＜a≤t（3），
只需φ（2）＜k≤φ（3），
故2-2ln2＜a≤3-2ln3．

点评：本题考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意构造法和导数性质的合理运用．