题目内容
20．设函数f（x）=2x3-12x+c的图象经过原点．（1）求c的值及函数f（x）的单调区间；
（2）求函数f（x）在[-1，3]上的最大值和最小值．
分析 （1）由f（0）=0，求出c的值，求出函数的导数，解关于导函数的方程，求出函数的单调区间即可；（2）根据函数的单调性求出函数的最值即可．
解答 解：（1）∵f（0）=0∴c=0…（2），
∴f（x）=2x3-12x…（4分）
∴$f'（x）=6{x^2}-12=6（x+\sqrt{2}）（x-\sqrt{2}）$，…（5分）
列表如下：
| x | $（-∞，-\sqrt{2}）$ | $-\sqrt{2}$ | $（-\sqrt{2}，\sqrt{2}）$ | $\sqrt{2}$ | $（\sqrt{2}，+∞）$ |
| f'（x） | + | 0 | - | 0 | + |
| f（x） | ↗ | 极大 | ↘ | 极小 | ↗ |
递减区间是$（-\sqrt{2}，\sqrt{2}）$…（8分）
（2）∵f（-1）=10，$f（\sqrt{2}）=-8\sqrt{2}$，f（3）=18
∴f（x）在[-1，3]上的最大值是f（3）=18，最小值是$f（\sqrt{2}）=-8\sqrt{2}$…（12分）
点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，是一道中档题．
练习册系列答案
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