Question

【题目】如图所示，在四棱锥中，四边形为矩形，为等腰三角形，，平面平面，且，，，分别为，的中点.

（1）证明：平面；

（2）证明：平面平面；

（3）求四棱锥的体积.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）.

【解析】

（1）根据直线与平面平行的判定定理可知只需证与平面内一直线平行，连接，根据中位线可知，平面，平面，即可证明结论；

（2）根据面面垂直的性质可得平面，又平面，即可证明结论；

（3）取的中点为，连接，从而得到平面，即为四棱锥的高，最后根据棱锥的体积公式即可得解.

（1）如图所示，连接.

∵四边形为矩形且是的中点，

∴也是的中点.

又是的中点，，

∵平面，平面，∴平面；

（2）证明：∵面平面，，平面平面，

∴平面，

∵平面，∴平面平面；

（3）取的中点为，连接，

∵平面平面，为等腰直角三角形，

∴平面，即为四棱锥的高，

∵，∴，又，

∴四棱锥的体积.