Question

【题目】已知函数.

（1）求在点处的切线方程；

（2）当时，证明：；

（3）判断曲线与是否存在公切线，若存在，说明有几条，若不存在，说明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）存在；存在2条公切线

【解析】

（1）计算，根据曲线在该点处导数的几何意义可得切线的斜率，然后计算，利用点斜式，可得结果.

（2）分别构造，通过导数研究的性质，可得 ，，简单判断，可得结果.

（3）分别假设与的切线，根据公切线，可得，利用导数研究函数零点个数，根据性质可得结果.

解：（1）的定义域

又

所以在点处的切线方程为：.

（2）设，

，

	↑	极大值	↓

设则在上恒成立

综上

（3）曲线与存在公切线，且有2条，理由如下：

由（2）知曲线与无公共点，

设分别切曲线与于，则

，

若，即曲线与有公切线，则

令，

则曲线与有公切线，当且仅当有零点，

，

当时，，在单调递增，

当时，，在单调递减

，

所以存在，使得

且当时，单调递增，

当时，单调递减

，

又

所以在内各存在有一个零点

故曲线与存在2条公切线.