题目内容
【题目】已知函数,
.
(1)若函数在
处的切线与直线
平行,求实数
的值;
(2)试讨论函数在区间
上的最大值;
(3)若时,函数
恰有两个零点
,求证:
.
【答案】(1);(2)详见解析;(3)详见解析.
【解析】
(1)直线的斜率为
,即函数
在
处的导数为
,由此列方程求得
的值.(2)对函数求导后,对
分成
两类,利用函数导数讨论函数的单调性,并求出最大值.(3)当
时,将两个零点代入函数的表达式,化简得到
,设
化简上式,求得
的表达式,利用导数求得这个表达式的取值范围,由此证得
.
解:(1)由,
,
由于函数在
处的切线与直线
平行,
,解得
.
(2),
由
,得
;由
,得
.
①当时,函数
在
上单调递减,
;
②当时,函数
在
上单调递增,在
上单调递减.
.
(3)若时,
恰有两个零点
,
,
由,
,
得,
,
设,
,
,故
,
,
记函数-lnt,因
,
在
递增,
,
,
又,
,故
成立.
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