题目内容
【题目】已知四棱锥中,底面
为直角梯形,
平面
,且
,
,
.
(1)求证:平面平面
;
(2)若与平面
所成的角为
,求二面角
的余弦值.
【答案】(1)证明见解析(2)
【解析】
(1)证明:取的中点
,连接
,
,
.根据平面几何知识和线面垂直的判定可证得
平面
,再证得
,可证明平面
平面
.
(2)由线面角的定义可得为
与平面
所成的角,再以点
为坐标原点,分别以
,
,
所在直线为
,
,
轴,建立如图所示的空间直角坐标系,求得平面
和平面
的法向量,由二面角的向量求解方法可求得二面角
的余弦值.
解:(1)证明:取的中点
,连接
,
,
.
∵,∴
.
又∵,
,∴四边形
为正方形,则
.
∵平面
,
平面
,∴
.
∵,∴
平面
.
∵,
,∴四边形
为平行四边形,∴
,
∴平面
.又
平面
,
∴平面平面
.
(2)∵平面
,∴
为
与平面
所成的角,
即,则
.
设,则
,
,
.
以点为坐标原点,分别以
,
,
所在直线为
,
,
轴,建立如图所示的空间直角坐标系,
则,
,
,
,
.
∵平面
,∴平面
的一个法向量
.
设平面的法向量
,∵
,
,
则,取
,则
.
设二面角的平面角为
,∴
.
由图可知二面角为锐角,故二面角
的余弦值为
.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
练习册系列答案
相关题目
【题目】某险种的基本保费为a(单位:元),继续购买该险种的投保人称为续保人,续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下:
上年度出险次数 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | ≥5 |
保费 | 0.85a | a | 1.25a | 1.5a | 1.75a | 2a |
随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况,得到如下统计表:
出险次数 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | ≥5 |
频数 | 60 | 50 | 30 | 30 | 20 | 10 |
(1)记A为事件:“一续保人本年度的保费不高于基本保费”,求P(A)的估计值;
(2)记B为事件:“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”,求P(B)的估计值;
(3)求续保人本年度平均保费的估计值.