Question

【题目】在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为：（为参数），以平面直角坐标系的原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，将曲线绕极点顺时针旋转后得到曲线的曲线记为.

（1）求曲线和的极坐标方程；

（2）设和的交点为，，求的长度.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）利用求得的普通方程，然后根据极坐标和直角坐标的转换公式，求得曲线的极坐标方程.将代入曲线的极坐标方程，求得的极坐标方程.

（2）由（1）求得的普通方程，由此求得相交弦所在直线方程，根据点到直线的距离公式以及勾股定理，求得.

（1）曲线的参数方程为（为参数），即

平方相加得的普通方程为：（或）.

∵，得曲线的极坐标方程为，

任取上一点极坐标为，由题意有在曲线上，

代入有极坐标方程为.

（2）由（1）知的极坐标方程为，即，

所以的普通方程为：，

联立与方程可得直线的方程为：，的圆心为，半径为2，且圆心到直线的距离为1，

∴.