题目内容
【题目】已知函数.
(1)若,证明:当
时,
;
(2)若在
只有一个零点,求
.
【答案】(1)见解析(2)
【解析】分析:(1)先构造函数,再求导函数,根据导函数不大于零得函数单调递减,最后根据单调性证得不等式,(2)研究
零点,等价研究
的零点,先求
导数:
,这里产生两个讨论点,一个是a与零,一个是x与2,当
时,
,
没有零点;当
时,
先减后增,从而确定只有一个零点的必要条件,再利用零点存在定理确定条件的充分性,即得a的值.
详解:(1)当时,
等价于
.
设函数,则
.
当时,
,所以
在
单调递减.
而,故当
时,
,即
.
(2)设函数.
在
只有一个零点当且仅当
在
只有一个零点.
(i)当时,
,
没有零点;
(ii)当时,
.
当时,
;当
时,
.
所以在
单调递减,在
单调递增.
故是
在
的最小值.
①若,即
,
在
没有零点;
②若,即
,
在
只有一个零点;
③若,即
,由于
,所以
在
有一个零点,
由(1)知,当时,
,所以
.
故在
有一个零点,因此
在
有两个零点.
综上,在
只有一个零点时,
.
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