题目内容
【题目】如图,已知点S为正方形ABCD所在平面外一点,△SBC是边长为2的等边三角形,点E为线段SB的中点.
(1)证明:SD//平面AEC;
(2)若侧面SBC⊥底面ABCD,求平面ACE与平面SCD所成锐二面角的余弦值.
【答案】(1)详见解析;(2).
【解析】
(1)连接BD交AC于F,连接EF,由已知结合三角形的中位线定理可得EF∥SD,再由直线与平面平行的判定可得SD∥平面AEC;
(2)取BC的中点O,连接OF并延长,可知OF⊥OC,利用线面垂直的判定定理与性质定理可得:OS⊥OF,OS⊥OC,建立空间直角坐标系,分别求出平面CDS与平面ACE的一个法向量,由两法向量所成角的余弦值可得平面ACE与平面SCD所成锐二面角的余弦值.
(1)证明:连接BD交AC于F,连接EF,
∵ABCD为正方形,F为BD的中点,且E为BS的中点,
∴EF∥SD.
又SD平面AEC,EF平面AEC,
∴SD∥平面AEC;
(2)取BC的中点O,连接OF并延长,可知OF⊥OC,
在等边三角形SBC中,可得SO⊥BC,
∵侧面SBC⊥底面ABCD,且侧面SBC∩底面ABCD=BC,
∴SO⊥平面ABCD,得OS⊥OF,OS⊥OC.
以O为坐标原点,分别以OF,OC,OS所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系,
得:A(2,﹣1,0),C(0,1,0),E(0,,
),D(2,1,0),S(0,0,
).
,
,
,
.
设平面CDS与平面ACE的一个法向量分别为,
.
由,取z=1,得
;
由,取x1=1,得
.
∴cos.
.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】如图,矩形中,
,
,
为
的中点,点
,
分别在线段
,
上运动(其中
不与
,
重合,
不与
,
重合),且
,沿
将
折起,得到三棱锥
,则三棱锥
体积的最大值为______;当三棱锥
体积最大时,其外接球的半径
______.
【题目】某城市对一项惠民市政工程满意程度(分值:分)进行网上调查,有2000位市民参加了投票,经统计,得到如下频率分布直方图(部分图):
现用分层抽样的方法从所有参与网上投票的市民中随机抽取位市民召开座谈会,其中满意程度在
的有5人.
(1)求的值,并填写下表(2000位参与投票分数和人数分布统计);
满意程度(分数) | |||||
人数 |
(2)求市民投票满意程度的平均分(各分数段取中点值);
(3)若满意程度在的5人中恰有2位为女性,座谈会将从这5位市民中任选两位发言,求男性甲或女性乙被选中的概率.