Question

3．已知函数$f（x）=\frac{{{e^x}-{e^{-x}}}}{2}$，x₁、x₂、x₃∈R，且x₁+x₂＞0，x₂+x₃＞0，x₃+x₁＞0，则f（x₁）+f（x₂）+f（x₃）的值（　　）

• A． 一定等于零
• B． 一定大于零
• C． 一定小于零
• D． 正负都有可能

Answer 1

分析 先判断奇偶性和单调性，先由单调性定义由自变量的关系得到函数关系，然后三式相加得解．

解答 解：函数$f（x）=\frac{{{e^x}-{e^{-x}}}}{2}$，f（-x）=-f（x），函数f（x）是奇函数，根据同增为增，可得函数f（x）是增函数，
∵x₁+x₂＞0，x₂+x₃＞0，x₃+x₁＞0，
∴x₁＞-x₂，x₂＞-x₃x₃＞-x₁，
∴f（x₁）＞f（-x₂，f（x₂）＞f（-x₃），f（x₃）＞f（-x₁）
∴f（x₁）+f（x₂）＞0，f（x₂）+f（x₃）＞0，f（x₃）+f（x₁）＞0，
三式相加得：
f（x₁）+f（x₂）+f（x₃）＞0，
故选：B．

点评 本题主要考查函数的奇偶性和单调性的定义，关键是通过变形转化到定义模型．