Question

18．如图1，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠BAD=90°，AB=AD=$\frac{1}{2}CD$=1，如图2，将△ABD沿BD折起来，使平面ABD⊥平面BCD，设E为AD的中点，F为AC上一点，O为BD的中点．
（Ⅰ）求证：AO⊥平面BCD；
（Ⅱ）若AF=2FC，求三棱锥A-BEF的体积．

Answer 1

分析 （I）利用面面垂直的性质即可得出AO⊥平面BCD；
（II）证明BC⊥平面ABD，于是F到平面ABD的距离d=$\frac{2}{3}$BC，故V_A-BEF=V_F-ABE=$\frac{1}{3}{S}_{△ABE}•d$．

解答 （I）证明：∵AB=AD，
O是BD的中点，
∴AO⊥BD，
又∵平面ABD⊥平面BCD，
平面ABD∩平面BCD=BD，
AO?平面ABD，
∴AO⊥平面BCD．
（II）解：在图1中，过B作BM⊥CD，垂足为M，则BM=AD=DM=CM=1，
∴∠DBM=∠CBM=45°，
∴BD⊥BC，BC=$\sqrt{2}$，
又∵平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD=BD，BC?平面BCD，
∴BC⊥平面ABD，
∵AF=2FC，∴F到平面ABD的距离d=$\frac{2}{3}$BC=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
∴V_A-BEF=V_F-ABE=$\frac{1}{3}{S}_{△ABE}•d$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×1×\frac{1}{2}×\frac{2\sqrt{2}}{3}$=$\frac{\sqrt{2}}{18}$．

点评 本题考查了面面垂直的性质，线面垂直的判定，棱锥的体积计算，属于中档题．