题目内容

10．在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=1+cosα}\\{y=sinα}\end{array}\right.$（α为参数），在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为ρsin（$θ+\frac{π}{4}$）=2$\sqrt{2}$．
（Ⅰ）分别将曲线C的参数方程和直线l的极坐标方程转化为直角坐标系下的普通方程；
（Ⅱ）动点A在曲线C上，动点B在直线l上，定点P的坐标为（-2，2），求|PB|+|AB|的最小值．

分析 （1）消参数，根据cos2α+cos2α=1得出曲线C的普通方程，利用极坐标与直角坐标的对应关系得到直线l的普通方程；
（2）求出P关于直线l的对称点P′，则|PB|+|AB|的最小值为P′到圆心的距离减去曲线C的半径．

解答 解：（1）∵$\left\{\begin{array}{l}{x=1+cosα}\\{y=sinα}\end{array}\right.$，∴$\left\{\begin{array}{l}{cosα=x-1}\\{sinα=y}\end{array}\right.$，∴（x-1）2+y2=1．
∴曲线C的普通方程是：（x-1）2+y2=1．
∵ρsin（$θ+\frac{π}{4}$）=2$\sqrt{2}$，∴$\frac{\sqrt{2}}{2}$ρsinθ+$\frac{\sqrt{2}}{2}$ρcosθ=2$\sqrt{2}$，即ρsinθ+ρcosθ=4．
∴直线l的直角坐标方程为x+y-4=0．
（2）设点P关于直线l的对称点为P′（x，y），则$\left\{\begin{array}{l}{\frac{y-2}{x+2}=1}\\{\frac{x-2}{2}+\frac{y+2}{2}-4=0}\end{array}\right.$，解得P′（2，6）．
∴P′到曲线C的圆心（1，0）的距离d=$\sqrt{（2-1）^{2}+（6-0）^{2}}$=$\sqrt{37}$．
∴|PB|+|AB|的最小值为$\sqrt{37}-1$．

点评 本题考查了参数方程，极坐标方程与普通方程的转化，最短距离的求法，属于基础题．

练习册系列答案
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