题目内容
15．对于函数y=f（x），若x0满足f（x0）=x0，则称x0位函数f（x）的一阶不动点，若x0满足f（f（x0））=x0，则称x0位函数f（x）的二阶不动点，若x0满足f（f（x0））=x0，且f（x0）≠x0，则称x0为函数f（x）的二阶周期点．（1）设f（x）=kx+1．
①当k=2时，求函数f（x）的二阶不动点，并判断它是否是函数f（x）的二阶周期点；
②已知函数f（x）存在二阶周期点，求k的值；
（2）若对任意实数b，函数g（x）=x2+bx+c都存在二阶周期点，求实数c的取值范围．
分析 （1）①当k=2时，f（x）=2x+1，结合二阶不动点和二阶周期点的定义，可得答案；
②由二阶周期点的定义，结合f（x）=kx+1，可求出满足条件的k值；
（2）若对任意实数b，函数g（x）=x2+bx+c都存在二阶周期点，则函数g（x）=x2+bx+c=x恒有两个不等的实数根，解得答案．
解答 解：（1）①当k=2时，f（x）=2x+1，
f（f（x））=2（2x+1）+1=4x+3，
解4x+3=x得：x=-1，
即-1为函数f（x）的二阶不动点，
时f（-1）=-1，
即-1不是函数f（x）的二阶周期点；
②∵f（x）=kx+1，
∴f（f（x））=k2x+k+1，
令f（f（x））=x，
则x=$\frac{k+1}{1-{k}^{2}}$=$\frac{1}{1-k}$，（k≠±1），或x=0，k=-1，
令f（x）=x，则x=$\frac{1}{1-k}$，
若函数f（x）存在二阶周期点，则k=-1，
（2）若x0为函数f（x）的二阶周期点．
则f（f（x0））=x0，且f（x0）≠x0，
若x1为函数f（x）的二阶不动点，
则f（f（x1））=x1，且f（x1）=x1，
则f（x0）=f（x1），
则x0≠x1，且f（x0）+f（x1）=-b，
即函数g（x）=x2+bx+c=x恒有两个不等的实数根，
故△=（b-1）2-4c＞0恒成立，
解得：c＜0．
点评 本题以二阶不动点和二阶周期点为载体，考查了二次函数的基本性质，正确理解二阶不动点和二阶周期点的概念是解答的关键．
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轻松课堂单元期中期末专题冲刺100分系列答案
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在平面直角坐标系xOy中，对于⊙O：x2+y2=1来说，P是坐标系内任意一点，点P到⊙O的距离SP的定义如下：若P与O重合，SP=r；若P不与O重合，射线OP与⊙O的交点为A，SP=AP的长度（如图）．
20．已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c，下列结论中错误的是（ ）
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| C． | ?x∈（0，$\frac{π}{2}$），使得cosx＜x | D． | ?x∈（0，$\frac{π}{2}$），使得cosx＜x |
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