Question

设常数c∈（1，9），求函数f（x）=x+

c

x

在x∈[1，3]上的最小值和最大值．

Answer 1

考点：导数在最大值、最小值问题中的应用,基本不等式

专题：导数的综合应用,不等式的解法及应用

分析：由基本不等式易得函数的最小值，由函数的单调性可得函数的最大值在f（1）和f（9）中取到，作差比较可得．

解答： 解：由基本不等式可得f（x）=x+

c

x

≥2

c

，
当且仅当x=

c

x

即x=

c

时取等号，
∵c∈（1，9），∴

c

∈（1，3），
∴函数f（x）=x+

c

x

在x∈[1，3]上的最小值为2

c

，
又f′（x）=1-

c

x2

，当x∈[1，

c

]时，函数单调递减，
当x∈[

c

，3]时，函数单调递增，
∴当x=1或x=3时，函数取最大值，
又f（1）=1+c，f（9）=9+

c

9

，
作差可得（1+c）-（9+

c

9

）=

8

9

（c-9）＜0，
∴函数f（x）=x+

c

x

在x∈[1，3]上的最大值为f（9）=9+

c

9

．

点评：本题考查基本不等式，涉及函数的最值，属基础题．