Question

16．已知圆锥的侧面展开图是一个半圆；
（1）求圆锥的母线与底面所成的角；
（2）过底面中心O₁且平行于母线AB的截平面，若截面与圆锥侧面的交线是焦参数（焦点到准线的距离）为p的抛物线，求圆锥的全面积；
（3）过底面点C作垂直且于母线AB的截面，若截面与圆锥侧面的交线是长轴为2a的椭圆，求椭圆的面积（椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$的面积S=πab）．

Answer 1

分析 （1）根据侧面展开图的特征列方程得出底面半径和母线的关系，从而得出母线与底面所成的角；
（2）根据抛物线的一条弦为圆锥底面直径得出底面半径和p的关系，从而可得圆锥的面积；
（3）利用三角形相似和圆锥的特点得出椭圆的长轴，短轴和底面半径的关系，从而可得长短轴的关系，得出答案．

解答 解：（1）设圆锥的底面半径为r，母线长为l，
则圆锥侧面展开图的半径为l，弧长为2πr，
∵圆锥的侧面展开图是一个半圆，∴2πr=πl，
∴l=2r，∴圆锥的轴截面为等边三角形，
∴圆锥的母线与底面所成的角为$\frac{π}{3}$．
（2）设抛物线的顶点M，则M为AC的中点，
设抛物线方程为y²=2px，把y=r代入抛物线方程得x=$\frac{{r}^{2}}{2p}$，
∴OM=$\frac{{r}^{2}}{2p}$，于是母线l=AB=2OM=$\frac{{r}^{2}}{p}$，
又由（1）可知l=2r，即$\frac{{r}^{2}}{p}$=2r，∴r=2p，l=4p，
∴圆锥的全面积为πr²+πrl=12πp²．
（3）设AB的中点为N，则N和C为椭圆的长轴顶点，
取CN的中点P，则P为椭圆的中心，连接AP并延长，交BC于Q，过Q作QR⊥BC，交圆锥底面圆周于R，
则CN=2a=$\sqrt{3}$r，即r=$\frac{2a}{\sqrt{3}}$，
过N作NS∥BC交AQ于S，由△NPS∽△CPR可知QC=NS，又$\frac{NS}{BQ}=\frac{1}{2}$，
∴Q为BC靠近C的三等分点，
∴QR=$\frac{2\sqrt{2}r}{3}$，AQ=$\frac{2\sqrt{7}r}{3}$，AP=$\frac{\sqrt{7}r}{2}$，
∴$\frac{b}{QR}$=$\frac{AP}{AQ}$，∴b=$\frac{\sqrt{2}}{2}$r，即b=$\frac{\sqrt{6}}{3}$a，
∴椭圆面积S=πab=$\frac{{\sqrt{6}π{a^2}}}{3}$．

点评 本题考查了圆锥的结构特征，圆锥的截面曲线，属于中档题．