Question

如图三棱锥A-BCD中DC⊥BC，BC=2

3

，CD=AC=2，AB=AD=2

2

（1）证明：平面ABC⊥平面ACD；
（2）求二面角A-BD-C的余弦值．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,平面与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）由已知条件利用勾股定理得CD⊥AC，AB⊥AD，从而CD⊥平面ABC，进而AB⊥CD，由此得到AB⊥平面ADC，从而能证明平面ABC⊥平面ADC．
（2）由CD⊥平面ABC，且CD?平面BDC，得平面ABC⊥平面BDC，过点A作AE⊥平面BDC，交BC于E，过E作EF⊥BD，交BD于F，连结AF，由三垂线定理，得∠AFE是二面角A-BD-C的平面角，由此能求出二面角A-BD-C的余弦值．

解答： （1）证明：∵三棱锥A-BCD中DC⊥BC，
BC=2

3

，CD=AC=2，AB=AD=2

2

，
∴BD=

BC2+DC2

=4，AC²+CD²=AD²，
∴AB²+AD²=BD²，∴CD⊥AC，AB⊥AD，
又AC∩BC=C，∴CD⊥平面ABC，
又AB?平面ABC，∴AB⊥CD，
又CD∩AD=D，∴AB⊥平面ADC，
又AB?平面ABC，∴平面ABC⊥平面ADC．
（2）解：∵CD⊥平面ABC，且CD?平面BDC，
∴平面ABC⊥平面BDC，
过点A作AE⊥平面BDC，交BC于E，过E作EF⊥BD，交BD于F，
连结AF，由三垂线定理，得∠AFE是二面角A-BD-C的平面角，
∵AB⊥AC，AB=2

2

，AC=2，BC=2

3

，
∴AE=

AB×AC

BC

=

2 2 ×2

2 3

=

2 6

3

，
∵AB=AD=2

2

，BD=4，AF⊥BD，∴AF=

(2 2 )2-22

=2，
∴cos∠AFE=

AE

AF

=

2 6 3

2

=

6

3

，
∴二面角A-BD-C的余弦值为

6

3

．

点评：本题考查平面与平面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要注意空间思维能力的培养．