Question

15．已知第一象限的点M在椭圆4x²+9y²=324上，且M到椭圆右准线的距离为4$\sqrt{5}$．
（1）求点M的坐标；
（2）如果点N在椭圆上，且线段MN经过椭圆的右焦点，求|MN|的值．

Answer 1

分析 （1）先求出右准线为$x=\frac{27\sqrt{5}}{5}$，设M（x₁，y₁），（x₁＞0，y₁＞0），列出方程组，能求出点M的坐标．
（2）椭圆的右焦点为F（3$\sqrt{5}$，0），求出直线MN为$\sqrt{89}$x+6y-3$\sqrt{445}$=0，与椭圆联立，得233x²+36$\sqrt{39605}$x+3681=0，利用韦达定理和弦长公式能求出|MN|．

解答 解：（1）∵第一象限的点M在椭圆4x²+9y²=324上，且M到椭圆右准线的距离为4$\sqrt{5}$．
∴$\frac{{x}^{2}}{81}+\frac{{y}^{2}}{36}$=1，右准线为$x=\frac{27\sqrt{5}}{5}$，
设M（x₁，y₁），（x₁＞0，y₁＞0），则$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{{x}_{1}}^{2}}{81}+\frac{{{y}_{1}}^{2}}{36}=1}\\{\frac{27\sqrt{5}}{5}-{x}_{1}=4\sqrt{5}}\end{array}\right.$，
解得x₁=$\frac{7\sqrt{5}}{5}$，${y}_{1}=\frac{4\sqrt{445}}{15}$．
∴点M的坐标为M（$\frac{7\sqrt{5}}{5}$，$\frac{4\sqrt{445}}{15}$）．
（2）椭圆$\frac{{x}^{2}}{81}+\frac{{y}^{2}}{36}$=1的右焦点为F（3$\sqrt{5}$，0），
∴直线MN：$\frac{y}{x-3\sqrt{5}}=\frac{\frac{4\sqrt{445}}{15}}{\frac{7\sqrt{5}}{5}-3\sqrt{5}}$，即$\sqrt{89}$x+6y-3$\sqrt{445}$=0，
联立$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{81}+\frac{{y}^{2}}{36}=1}\\{\sqrt{89}x+6y-3\sqrt{445}=0}\end{array}\right.$，得233x²+36$\sqrt{39605}$x+3681=0，
△＞0，设N（x₂，y₂），则x₁+x₂=-$\frac{36\sqrt{39605}}{233}$，x₁x₂=$\frac{3681}{233}$，
∴|MN|=$\sqrt{（1+\frac{89}{36}）[（-\frac{36\sqrt{39605}}{233}）^{2}-4×\frac{3681}{233}]}$≈17.5．

点评 本题考查点的坐标的求法，考查弦长的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意韦达定理和弦长公式的合理运用．