Question

20．如图，在△ABC中，AC=16，∠C=$\frac{π}{6}$，点D在BC边上，且BD=6$\sqrt{3}$，tan∠ADB=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
（Ⅰ）求sin∠CAD及AB的长；
（Ⅱ）求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）根据tan∠ADB=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$求出sin∠ADB，cos∠ADB，利用外角的性质得出sin∠CAD=sin（∠ADB-∠C）；在△ACD中使用正弦定理解出AD，在△ABD中使用余弦定理求出AB；
（2）分别求出△ABD和△ACD的面积即可．

解答 解：（1）△ABC中，∵tan∠ADB=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴sin∠ADB=$\frac{2\sqrt{7}}{7}$，cos∠ADB=$\frac{\sqrt{21}}{7}$．
∵∠C+∠CAD=∠ADB，
∴sin∠CAD=sin（∠ADB-∠C）=sin∠ADBcos∠C-cos∠ADBsin∠C=$\frac{2\sqrt{7}}{7}×\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{21}}{7}×\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{21}}{14}$．
∵∠ADC+∠ADB=180°，∴sin∠ADC=sin∠ADB=$\frac{2\sqrt{7}}{7}$．
在△ACD中，由正弦定理得：$\frac{AD}{sinC}=\frac{AC}{sin∠ADC}$，即$\frac{AD}{\frac{1}{2}}=\frac{16}{\frac{2\sqrt{7}}{7}}$，
解得AD=4$\sqrt{7}$．
在△ABD中，由余弦定理得AB²=AD²+BD²-2AD•BDcos∠ADB=56，
∴AB=$\sqrt{56}$=2$\sqrt{14}$．
（2）S_△ABC=S_△ACD+S_△ABD=$\frac{1}{2}AC•AD•sin∠CAD$+$\frac{1}{2}AD•BD•sin∠ADB$
=$\frac{1}{2}×16×4\sqrt{7}×\frac{\sqrt{21}}{14}$+$\frac{1}{2}×4\sqrt{7}×6\sqrt{3}×\frac{2\sqrt{7}}{7}$
=40$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了利用正余弦定理解三角形的应用，三角形的面积计算，属于中档题．