Question

如图，正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面边长为1，点M在BC上，△AMC₁是以M为直角顶点的等腰直角三角形．
（1）求证：点M为BC的中点；
（2）求点B到平面AMC₁的距离；
（3）求二面角M-AC₁-C的大小．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,点、线、面间的距离计算

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）由已知得CC₁⊥AM，AM⊥MC₁且AM=MC₁，从而AM⊥面CC₁M，由此能证明点M为BC中点．
（2）法一：过点B作BH⊥C₁M，交其延长线于H，则AM⊥C₁M，AM⊥CB，从而BH为点B到平面AMC₁的距离，由此能求出结果．
法二：设点B到平面AMC₁的距离为h．则VB-AMC1=VA-BMC1，由此利用等积法能求出点B到平面AMC₁的距离．
（3）法一：过M作MH⊥AC于H，作MG⊥AC₁于G，连结GH．，∠MGH为二面角M-AC₁-C的平面角，由此能求出二面角M-AC₁-C的大小．
法二：过M作MM₁∥CC₁，交B₁C₁于M₁．以M为坐标原点，BC，AM，MM₁分别为x轴，y轴，z轴，利用向量法能求出二面角M-AC₁-C的大小．

解答： （1）证明：∵在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，有CC₁⊥底面ABC，AM?面ABC，
∴CC₁⊥AM，…（1分）
又∵△AMC₁是以点M为直角顶点的等腰直角三角形，
∴AM⊥MC₁且AM=MC₁
∵CC₁∩C₁M=C₁，
∴AM⊥面CC₁M，…（2分）
∵BC?面CC₁M，
∴AM⊥BC，…（3分）
∵底面ABC是边长为1的正三角形，
∴点M为BC中点．…（4分）
（2）解法一：过点B作BH⊥C₁M，交其延长线于H，
由（1）知AM⊥C₁M，AM⊥CB，
∴AM⊥平面C₁CBB₁，
∴AM⊥BH，∴BH⊥平面AMC₁，
∴BH为点B到平面AMC₁的距离，…（6分）
∴AM=C₁M=

3

2

，
在Rt△CC₁M中，解得CC₁=

2

2

，…（7分）
∵△BHM∽△C₁CM，
∴

BH

CC1

=

BM

C1M

，∴

BH

2 2

=

1 2

3 2

，
解得BH=

6

6

．…（9分）
（2）解法二：设点B到平面AMC₁的距离为h．
则VB-AMC1=VA-BMC1，…（5分）
由（I）知  AM⊥C₁M，AM⊥CB，
∴AM⊥平面C₁CBB₁…（6分）
∵AB=1，BM=

1

2

，∴AM=MC₁=

3

2

，CC₁=

2

2

，…（7分）
∴

1

3

S△AMC1•h=

1

3

S△C1MB•AM，…（8分）
∴

1

3

×

1

2

×

3

2

×

3

2

h=

1

3

×

1

2

×

2

2

×

3

2

，
解得h=

6

6

．…（9分）
（3）解法一：过M作MH⊥AC于H，作MG⊥AC₁于G，连结GH．
∵平面AC₁⊥平面ABC，且面AC₁∩面ABC=AC，
又MH?面ABC，MH⊥AC，∴MH⊥面AC₁，∴MH⊥AC₁，
又∵MG⊥AC₁，且MH∩MG=M，
∴AC₁⊥面MHG，∴AC₁⊥GH，
故∠MGH为二面角M-AC₁-C的平面角，…（11分）
由（1）知MH=

1

2

AM=

3

4

，
在等腰直角三角形AMC₁中，MG=

2

2

AM=

2

2

•

3

2

=

6

4

，
∴sin∠MGH=

MH

MG

=

3

4

•

4

6

=

2

2

．…（13分）
因为二面角M-AC₁-C为锐二面角，故∠MGH=

π

4

，
所以二面角M-AC₁-C的大小为

π

4

．…（14分）
（3）解法二：过M作MM₁∥CC₁，交B₁C₁于M₁．
以M为坐标原点，BC，AM，MM₁分别为x轴，y轴，z轴，
建立空间直角坐标系．…（10分）
设面ACC₁的一个法向量为

μ

=(x，y，z)，
则

AC • μ = 1 2 x+ 3 2 y=0 CC1 • μ = 2 2 z=0

，取y=1，得

μ

=（-

3

，1，0），…（11分）
同理可求得面AMC₁的一个法向量为

v

=（-

2

，0，1），…（12分）
设二面角M-AC₁-C的大小为θ，由图知θ为锐角，
故cosθ=|

μ

，

v

|=

6

2 3

=

2

2

，解得θ=

π

4

．…（13分）
故二面角M-AC₁-C的大小为

π

4

．…（14分）

点评：本题考查点M为BC的中点的证明，考查点B到平面AMC₁的距离的求法，考查二面角M-AC₁-C的大小的求法，解题时要注意空间思维能力的培养．