Question

（本小题满分14分）设函数R，且为的极值点．

（1）当时，求的单调递减区间；

（2）若恰有两解，试求实数的取值范围；

（3）在（1）的条件下，设，证明：．

Answer 1

（1）单调减区间为;（2）；（3）详见解析．

【解析】

试题分析：由已知求导得： ，由为的极值点，， ．

（1）当时，，进而，又函数的定义域为，即可求出函数的单调见区间．（2）由，得，则 ，， ，，对a进行分类讨论即可求出结果；（3）当时，，即证：．（方法一）利用不等式放缩即可求出结果；（方法二）数学归纳法，证明即可．

试题解析：【解析】
由已知求导得： ，

为的极值点，， ． 2分

（1）当时，，

进而，

函数的定义域为，

的单调减区间为． 4分

（2）由，得，则 ，，

，，

（ⅰ）当时，在递减，在递增，则的极小值为，

，，

则当时，，

又当时，， 要使恰有两解，须，即．

因此，当时，恰有两解．

（ⅱ）当时，在、递增，在递减，

则的极大值为，的极小值为．

，

当时，，此时不可能恰有两解．

（ⅲ）当时，在、递增，在递减，

则的极大值为，的极小值为．

，当时，不可能恰有两解．

（ⅳ）当时，在单调递增，不可能恰有两解．

综合可得，若恰有两解，则实数的取值范围是． 9分

（3）当时，，

即证：．

（方法一）先证明：当时，．

设， ，

当时，，则在递减，，

，，即，

，，即．

．

令，得，

则． 14分

（方法二）数学归纳法：

1．当时，左边=，右边=，

，， ，即时，命题成立．

2．设时，命题成立，即．

当时，左边=

右边=，

要证，即证，

即证，也即证．

令，即证：，（证法见方法一）

因此，由数学归纳法可得命题成立． 14分．

考点：1．导数在函数单调区间上的应用；2．导数在证明不等式中的应用．