Question

16．在直角坐标系xoy中，直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{1}{2}t\\ y=\frac{{\sqrt{2}}}{2}+\frac{{\sqrt{3}}}{2}t\end{array}\right.$（t为参数），曲线C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{{\sqrt{2}}}{2}+cosα\\ y=\frac{{\sqrt{2}}}{2}+sinα\end{array}\right.$（α为参数），且直线l与曲线C交于A，B两点，求AB的长．

Answer 1

分析 直线l的参数方程消去参数t得直线l的直角坐标方程为y=$\sqrt{3}x+\frac{\sqrt{2}}{2}$，曲线C的参数方程消去参数，得曲线C的直角坐标方程为（x-$\frac{\sqrt{2}}{2}$）²+（y-$\frac{\sqrt{2}}{2}$）²=1，先求出圆心（$\frac{\sqrt{2}}{2}，\frac{\sqrt{2}}{2}$）到直线l的距离，再利用勾股定理能求出AB．

解答 解：∵直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{1}{2}t\\ y=\frac{{\sqrt{2}}}{2}+\frac{{\sqrt{3}}}{2}t\end{array}\right.$（t为参数），
∴消去参数t得直线l的直角坐标方程为y=$\sqrt{3}x+\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∵曲线C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{{\sqrt{2}}}{2}+cosα\\ y=\frac{{\sqrt{2}}}{2}+sinα\end{array}\right.$（α为参数），
∴曲线C的直角坐标方程为（x-$\frac{\sqrt{2}}{2}$）²+（y-$\frac{\sqrt{2}}{2}$）²=1，
∴圆心（$\frac{\sqrt{2}}{2}，\frac{\sqrt{2}}{2}$）到直线l的距离d=$\frac{\sqrt{6}}{4}$，
∴AB=2$\sqrt{1-（\frac{\sqrt{6}}{4}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{10}}{2}$．

点评 本题考查直线被圆所截弦长的求法，考查极坐标方程、直角坐标方程、参数方程的互化等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．