Question

5．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）=|x-a|-a（a∈R）．若?x∈R，f（x+2016）＞f（x），则实数a的取值范围是a＜504．

Answer 1

分析 函数y=f（x+2016）的图象是将y=f（x）像左平移2016个单位得到的，要使任意的x∈R，恒有f（x+2016）＞f（x），只需f（x+2016）的图象恒在f（x）的图象上方，据此列出关于a的不等式解出来即可．

解答 解：当a＞0，x＞0时，该函数图象过原点，关于x=a对称，顶点为（a，-a），
结合该函数还是奇函数，图象关于原点对称．
而函数y=f（x+2016）的图象是将y=f（x）像左平移2016个单位得到的，
要使任意的x∈R，恒有f（x+2016）＞f（x），
只需f（x+2016）的图象恒在f（x）的图象上方，
所以只需y=f（x+2016）与x轴最右边的交点在A（2a-2016，0）
在y=f（x）与x轴最左边交点B（-2a，0）的左边，
因此应该有2a-2016＜-2a，解得0＜a＜504．
a≤0时，x＞0，f（x）=x，函数f（x）是定义在R上的奇函数，
∴f（x）=x，
∴?x∈R，f（x+2016）＞f（x），
综上所述，a＜504．
故答案为：a＜504．

点评 这道题是将不等式恒成立问题转化为函数的最值问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．