Question

在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，已知AB=5，AC=4，BC=3，AA₁=4，点D在棱AB上．
（1）若D是AB中点，求证：AC₁∥平面B₁CD；
（2）当

BD

AB

=

1

3

时，求二面角B-CD-B₁的余弦值．

Answer 1

考点：用空间向量求平面间的夹角,直线与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）根据线面平行的判定定理即可证明AC₁∥平面B₁CD；
（2）建立空间坐标系，利用向量法即可求二面角B-CD-B₁的余弦值．

解答： 解：（1）证明：连结BC₁，交B₁C于E，连接DE．
因为 直三棱柱ABC-A₁B₁C₁，D是AB中点，
所以 侧面B B₁C₁C为矩形，DE为△ABC₁的中位线，
所以 DE∥AC₁．
因为 DE?平面B₁CD，AC₁?平面B₁CD，
所以 AC₁∥平面B₁CD．
（2）由（1）知AC⊥BC，如图，以C为原点建立空间直角坐标系C-xyz．
则B （3，0，0），A （0，4，0），A1 （0，4，4），B1 （3，0，4）．
设D （a，b，0）（a＞0，b＞0），因为 点D在线段AB上，且

BD

AB

=

1

3

，即

BD

=

1

3

BA

．
所以a=2，b=

4

3

，

BD

 =(-1，

4

3

，0)，

CB1

=(3，0，4)，

CD

=(2，

4

3

，0)．
平面BCD的法向量为

n 1

=(0，0，1)． 
设平面B₁ CD的法向量为

n 2

=(x，y，1)，
由

CB1

•

n 2

=0，

CD

•

n 2

=0，得 

3x+4=0 2x+ 4 3 y=0

，
所以 x=-

4

3

，y=2，

n 2

=(-

4

3

，2，1)．
所以  cosθ=

n 1 • n 2

| n 1 || n 2 |

=

3

61

．
所以二面角B-CD-B₁的余弦值为

3 61

61

．

点评：本题主要考查线面平行的判定依据二面角的求解，根据相应的判定定理以及利用坐标法是解决二面角的基本方法．