Question

16．已知等比数列{a_n}的公比q＞1，a₁=1，且a₁，2a₂-1，a₃成等差数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设a_n•b_n=$\frac{{3}^{n}}{{n}^{2}+n}$，求数列{b_n}的前n项的和T_n．

Answer 1

分析 （1）由a₁，2a₂-1，a₃成等差数列．可得2（2a₂-1）=a₁+a₃，4q-2=1+q²，q＞1，解得q即可得出．
（2）a_n•b_n=$\frac{{3}^{n}}{{n}^{2}+n}$，可得b_n=$\frac{3}{n（n+1）}$=3$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$．利用“裂项求和”方法即可得出．

解答 解：（1）∵a₁，2a₂-1，a₃成等差数列．∴2（2a₂-1）=a₁+a₃，
∴4q-2=1+q²，q＞1，解得q=3，又a₁=1，
∴a_n=3^n-1．
（2）a_n•b_n=$\frac{{3}^{n}}{{n}^{2}+n}$，∴b_n=$\frac{3}{n（n+1）}$=3$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$．
∴数列{b_n}的前n项的和T_n=3$[（1-\frac{1}{2}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）$+…+$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）]$
=3$（1-\frac{1}{n+1}）$
=$\frac{3n}{n+1}$．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式、“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．