Question

已知函数，设曲线在与x轴交点处的切线为，为的导函数，满足．

（1）求；

（2）设，m＞0，求函数在[0，m]上的最大值；

（3）设，若对于一切，不等式恒成立，求实数t的取值范围．

Answer 1

（1） ；

（2）；

（3）．

【解析】

试题分析：（1）求导函数得，由得，导函数关于直线，从而可求的值，由已知条件可得切点坐标，以及根据导数几何意义可求和的值；（2）由（1）得，从而可得，画出分段函数图像，数形结合求得其最小值；（3）由已知可得，从而不等式可变现为，进而变现为恒成立，去绝对值号，参变分离求实数实数t的取值范围．

试题解析：（1），

∵，∴函数的图象关于直线对称，， 2分

∵曲线在与x轴交点处的切线为，∴切点为（3，0），

∴，解得c=1，d=-3，则 5分

（2）∵，

∴ 7分

当0＜m≤时，

当＜m≤时，，

当m＞时，，

综上 10分

（3），，,

当时，|2x+1|=2x+1，所以不等式等价于恒成立，

解得，且x≠t， 13分

由，得，，所以，

又x≠t，∵ ，∴所求的实数t的的取值范围是． 16分

考点：1、导数的几何意义；2、二次函数的最值；3、绝对值不等式.