Question

设曲线y=（ax-1）•e^x在点A（x₀，y₁）处的切线为l₁，曲线y=（1-x）•e^-x在点A（x₀，y₂）处的切线为l₂，若存在x₀∈[0，

3

2

]，使得l₁⊥l₂，则实数a的取值范围是（　　）

• A、（-∞，1]
• B、[

  3

  2

  ，+∞）
• C、（1，

  3

  2

  ）
• D、[1，

  3

  2

  ]

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：综合题,导数的概念及应用

分析：根据曲线方程分别求出导函数，把A和B的横坐标x₀分别代入到相应的导函数中求出切线l₁和切线为l₂的斜率，然后根据两条切线互相垂直得到斜率乘积为-1，列出关于等式由存在x₀∈[0，

3

2

]，得到x₀²-x₀-2≠0，从而a=

x0-3

x02-x0-2

，然后根据

x0-3

x02-x0-2

在（0，1）是减函数，在（1，

3

2

）上是增函数，求出其值域即可得到a的取值范围．

解答： 解：函数y=（ax-1）e^x的导数为y′=（ax+a-1）e^x，
∴l₁的斜率为k1=(ax0+a-1)ex0，
函数y=（1-x）e^-x的导数为y′=（x-2）e^-x
∴l₂的斜率为k2=(x0-2)e-x0，
由题设有k₁•k₂=-1从而有(ax0+a-1)ex0•(x0-2)e-x0=-1
∴a（x₀²-x₀-2）=x₀-3
∵存在x₀∈[0，

3

2

]，得到x₀²-x₀-2≠0，
∴a=

x0-3

x02-x0-2

，
又a′=

-(x0-1)(x0-5)

(x02-x0-2)2

，
令导数大于0得1＜x₀＜5，
故a=

x0-3

x02-x0-2

在（0，1）是减函数，在（1，

3

2

）上是增函数，
x₀=0时取得最大值为

0-3

0-0-2

=

3

2

；
x₀=1时取得最小值为1．
∴1≤a≤

3

2

故选：D．

点评：本题考查学生会利用导数求切线的斜率，会求函数的值域，掌握两直线垂直时斜率的关系，此题是一道综合题．