设平面直角坐标系xOy中.曲线G:y=$\frac{{x}^{2}}{2}$+$\frac{a}{2}$x-a2.a为常数．(1)若a≠0.曲线G的图象与两坐标轴有三个交点.求经过这三个交点的圆C的一般方程,的条件下.求圆心C所在曲线的轨迹方程,.在y轴上存在定点N满足:对于圆C上任一点P.都有$\frac{|PN|}{|PM|}$为一常数.试求所有满足条件的点N的� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

17．设平面直角坐标系xOy中，曲线G：y=$\frac{{x}^{2}}{2}$+$\frac{a}{2}$x-a²（x∈R），a为常数．
（1）若a≠0，曲线G的图象与两坐标轴有三个交点，求经过这三个交点的圆C的一般方程；
（2）在（1）的条件下，求圆心C所在曲线的轨迹方程；
（3）若a=0，已知点M（0，3），在y轴上存在定点N（异于点M）满足：对于圆C上任一点P，都有$\frac{|PN|}{|PM|}$为一常数，试求所有满足条件的点N的坐标及该常数．

分析（1）求出曲线G的图象与两坐标轴有三个交点，利用待定系数法求经过这三个交点的圆C的一般方程；
（2）由（1）可得C（-$\frac{1}{2}a$，$\frac{1}{2}（2-{a}^{2}）$），消去a，求圆心C所在曲线的轨迹方程；
（3）令x=0，得到圆C与y轴交于点（0，0），（0，2），由此求出点N（0，$\frac{3}{2}$），对于圆C上任一点P，都有$\frac{|PN|}{|PM|}$为一常数，再进行证明即可．

解答解：（1）令x=0，得曲线与y轴的交点是（0，-a²），
令y=0，则$\frac{{x}^{2}}{2}$+$\frac{a}{2}$x-a²=0，解得x=-2a或x=a，
∴曲线与x轴的交点是（-2a，0），（a，0）．
设圆的一般方程为x²+y²+Dx+Ey+F=0，则$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{4}-E{a}^{2}+F=0}\\{{a}^{2}+Da+F=0}\\{4{a}^{2}-2Da+F=0}\end{array}\right.$，
解得D=a，E=a²-2，F=-2a²，
∴圆的一般方程为x²+y²+ax+（a²-2）y-2a²=0；
（2）由（1）可得C（-$\frac{1}{2}a$，$\frac{1}{2}（2-{a}^{2}）$）
设C（x，y），则x=-$\frac{1}{2}a$，y=$\frac{1}{2}（2-{a}^{2}）$，消去a，得到y=1-2x²，
∵a≠0，
∴x≠0，
∴圆心C所在曲线的轨迹方程为y=1-2x²（x≠0）；
（3）若a=0，圆C的方程为x²+（y-1）²=1，
令x=0，得到圆C与y轴交于点（0，0），（0，2）
由题意设y轴上的点N（0，t）（t≠3），
当P与圆C的交点为（0，2）时，$\frac{|PN|}{|PM|}$=$\frac{|t-2|}{1}$，
当P与圆C的交点为（0，0）时，$\frac{|PN|}{|PM|}$=$\frac{|t|}{3}$，
由题意，$\frac{|t-2|}{1}$=$\frac{|t|}{3}$，∴t=$\frac{3}{2}$（t=3舍去）
下面证明点N（0，$\frac{3}{2}$），对于圆C上任一点P，都有$\frac{|PN|}{|PM|}$为一常数
设P（x，y），则x²+（y-1）²=1，
∴$\frac{|PN{|}^{2}}{|PM{|}^{2}}$=$\frac{{x}^{2}+（y-\frac{3}{2}）^{2}}{{x}^{2}+（y-3）^{2}}$=$\frac{1}{4}$，
∴$\frac{|PN|}{|PM|}$=$\frac{1}{2}$，
∴在y轴上存在定点N（0，$\frac{3}{2}$），满足：对于圆C上任一点P，都有$\frac{|PN|}{|PM|}$为一常数$\frac{1}{2}$．