Question

9．一个空间几何体的三视图如图所示，且这个空间几何体的所有顶点都在同一个球面上，则这个球的体积是$\frac{32}{3}$π．

Answer 1

分析 由三视图知，几何体是一个三棱柱，三棱柱的底面是边长为3的正三角形，侧棱长是2，根据三棱柱的两个底面的中心的中点与三棱柱的顶点的连线就是外接球的半径，求出半径即可求出球的体积．

解答 解：由三视图知，几何体是一个三棱柱ABC-A₁B₁C₁，
三棱柱的底面是边长为3的正三角形ABC，侧棱长是2，
三棱柱的两个底面的中心连接的线段MN的中点O与三棱柱的顶点A的连线AO就是外接球的半径，
∵△ABC是边长为3的等边三角形，MN=2，
∴AM=$\sqrt{9-\frac{9}{4}}×\frac{2}{3}$=$\sqrt{3}$，OM=1，
∴这个球的半径r=$\sqrt{3+1}$=2，
∴这个球的体积V=$\frac{4}{3}$π×2³=$\frac{32}{3}$π，
故答案为：$\frac{32}{3}$π．

点评 本题是基础题，考查三棱柱的外接球的体积的求法，外接球的半径是解题的关键，考查计算能力．