Question

12．已知{a_n}是等差数列，满足a₁=1，a₄=-5，数列{b_n}满足b₁=1，b₄=21，且{a_n+b_n}为等比数列．
（1）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
（2）求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （1）设出数列的公差与公比，利用已知条件列出方程，求解数列{a_n}的通项公式然后求解{b_n}的通项公式．
（2）利用数列的通项公式，拆项，通过等差数列和等比数列分别求和即可．

解答 解：（1）设{a_n}的公差为d，{a_n+b_n}的公比为q，
∴$d=\frac{{{a_4}-{a_1}}}{4-1}=-2$，∴a_n=a₁+（n-1）d，=1+（n-1）×（-2）=-2n+3．
∵a₁+b₁=2，a₄+b₄=16，
∴${q^{4-1}}=\frac{{{a_4}+{b_4}}}{{{a_1}+{b_1}}}=8$，
∴q=2，∴${a_n}+{b_n}=2×{2^{n-1}}={2^n}$，
∴${b_n}={2^n}-{a_n}={2^n}+2n-3$．
（2）S_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n=（2¹-1）+（2²+1）+（2³+3）+…+（2ⁿ+2n-3）
=（2¹+2²+2³+…+2ⁿ）+（-1+1+3+…+2n-3）
=$\frac{{2（1-{2^n}）}}{1-2}+\frac{（-1+2n-3）n}{2}$=2ⁿ⁺¹+n²-2n-2

点评 本题考查等差数列以及等比数列的综合应用，数列求和，考查计算能力．