题目内容

5．已知△OBC中，点A是线段BC的中点，点D是线段OB的一个靠近O的三等分点，设$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{b}$
（1）用向量$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$表示向量$\overrightarrow{OA}$；
（2）若点E是线段OA靠近A的三等分点，证明$\overrightarrow{DE}$平行于$\overrightarrow{BC}$．

分析 （1）根据向量的三角形法则即可求出，
（2）根向量的三角形法则和向量的数乘运算可得$\overrightarrow{DE}$=$\frac{1}{6}$$\overrightarrow{BC}$，问题得以证明

解答 解：（1）$\overrightarrow{OA}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{OB}$+$\overrightarrow{OC}$）=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{a}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{b}$，
（2）证明：∵点D是线段OB的一个靠近B的三等分点，点E是线段OA靠近A的三等分点，
∴$\overrightarrow{OD}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{OB}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{OE}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{OA}$=$\frac{1}{3}$（$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{a}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{b}$）=$\frac{1}{6}$$\overrightarrow{a}$+$\frac{1}{6}$$\overrightarrow{b}$，
∴$\overrightarrow{DE}$=$\overrightarrow{OE}$-$\overrightarrow{OD}$=-$\frac{1}{6}$$\overrightarrow{a}$+$\frac{1}{6}$$\overrightarrow{b}$，
∵$\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{OC}$-$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow{b}$-$\overrightarrow{a}$，
∴$\overrightarrow{DE}$=$\frac{1}{6}$$\overrightarrow{BC}$，
∴$\overrightarrow{DE}$平行于$\overrightarrow{BC}$．

点评 本题考查的知识点是向量加减法的三角形法则和向量的共线定理，属于基础题．

练习册系列答案
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15．已知P是△ABC内一点，且满足2$\overrightarrow{PA}$+3$\overrightarrow{PB}$+4$\overrightarrow{PC}$=$\overrightarrow{0}$，那么S△PBC：SPCA：S△PAB等于（　　）
A．4：3：2B．2：3：4C．$\frac{1}{4}$：$\frac{1}{3}$：$\frac{1}{2}$D．$\frac{1}{2}$：$\frac{1}{3}$：$\frac{1}{4}$
16．某中学将100名高二文科生分成水平相同的甲、乙两个“平行班”，每班50人．陈老师采用A，B两种不同的教学方式分别在甲、乙两个班进行教改实验．为了了解教学效果，期末考试后，陈老师对甲、乙两个班级的学生成绩进行统计分析，画出频率分布直方图（如图）．记成绩不低于90分者为“成绩优秀”．

（Ⅰ）根据频率分布直方图填写下面2×2列联表；
甲班（A方式）乙班（B方式）总计
成绩优秀12420
成绩不优秀384680
总计5050100
（Ⅱ）判断能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为：“成绩优秀”与教学方式有关？
附：${K^2}=\frac{{n{{（ad-bc）}^2}}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$．
P（K2≥k）0.250.150.100.050.025
k1.3232.0722.7063.8415.024
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（2）若b+c=$\sqrt{3}$a，判断△ABC的形状．
20．已知函数$y=|{sin（{2x-\frac{π}{6}}）}|$，以下说法正确的是（　　）
A．函数的最小正周期为$\frac{π}{4}$B．函数是偶函数
C．函数图象的一条对称轴为$x=\frac{π}{3}$D．函数在$[{\frac{2π}{3}，\frac{5π}{6}}]$上为减函数
10．从1，2，3，4中任取两个数，记作a，b，则两数之和a+b小于5的概率为（　　）
A．$\frac{5}{6}$B．$\frac{3}{4}$C．$\frac{1}{2}$D．$\frac{1}{3}$
17．已知复数${z_1}=sinx+λi，{z_2}=（{sinx+\sqrt{3}cosx}）-i$（λ，x∈R，i为虚数单位）．
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