已知复数${z 1}=sinx+λi.{z 2}=-i$．(1)若2z1=i•z2.且$x∈$.求x与λ的值,(2)设复数z1.z2在复平面上对应的向量分别为$\overrightarrow{O{Z 1}}.\overrightarrow{O{Z 2}}$.且$\overrightarrow{O{Z 1}}⊥\overrightarrow{O{Z 2}}$.λ=f的最小正周期� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

17．已知复数${z_1}=sinx+λi，{z_2}=（{sinx+\sqrt{3}cosx}）-i$（λ，x∈R，i为虚数单位）．
（1）若2z₁=i•z₂，且$x∈（{0，\frac{π}{2}}）$，求x与λ的值；
（2）设复数z₁，z₂在复平面上对应的向量分别为$\overrightarrow{O{Z_1}}，\overrightarrow{O{Z_2}}$，且$\overrightarrow{O{Z_1}}⊥\overrightarrow{O{Z_2}}$，λ=f（x），求f（x）的最小正周期和单调递减区间．

分析（1）利用复数的运算法则和复数相等及特殊角的三角函数值即可得出；
（2）利用向量的垂直与数量积的关系可得可得sinx（sinx+$\sqrt{3}$cosx）-λ=0，再利用倍角公式和两角和差的正弦公式即可化简，利用三角函数的周期公式和单调性即可得出．

解答解：（1）由2z₁=z₂i，可得2sinx+2λi=1+（sinx+$\sqrt{3}$cosx）i，又λ，x∈R，
∴$\left\{\begin{array}{l}{2sinx=1}\\{2λ=sinx+\sqrt{3}cosx}\end{array}\right.$，又$x∈（{0，\frac{π}{2}}）$，
故x=$\frac{π}{6}$，λ=1．
（2）由$\overrightarrow{O{Z_1}}⊥\overrightarrow{O{Z_2}}$，可得sinx（sinx+$\sqrt{3}$cosx）-λ=0，
又λ=f（x），故f（x）=$si{n}^{2}x+\sqrt{3}sinxcosx$=$sin（2x-\frac{π}{6}）$+$\frac{1}{2}$，
故f（x）的最小正周期T=π，
又由2kπ+$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$（k∈Z），可得kπ+$\frac{π}{3}$≤x≤kπ+$\frac{5π}{6}$，
故f（x）的单调递减区间为[kπ+$\frac{π}{3}$，kπ+$\frac{5π}{6}$]，（k∈Z）．

点评熟练掌握复数的运算法则和复数相等及特殊角的三角函数值、向量的垂直与数量积的关系、倍角公式和两角和差的正弦公式、三角函数的周期公式和单调性是解题的关键..