Question

定义函数φ（x）=

1，  x≥0 -1， x＜0

，f（x）=x²-2x（x²-a）φ（x²-a）．
（1）解关于a的不等式f（1）≤f（0）；
（2）已知函数f（x）在x∈[0，1]上的最小值为f（1），求正实数a的取值范围．

Answer 1

考点：分段函数的应用

专题：函数的性质及应用

分析：（1）分情况当a＞1时和当a≤1时两种情形进行讨论求解；
（2）分情况进行分类讨论，a≥1和0＜a≤1两种情形进行讨论．

解答： 解：（1）由f（1）≤f（0），得1-2（1-a）φ（1-a）≤0，
当a＞1时，φ（1-a）=-1，所以1+2（1-a）≤0，
∴a≥

3

2

；
当a≤1时，φ（1-a）=1，所以1-2（1-a）≤0，
a≤

1

2

，
综上，不等式的解集为：{a|a≤

1

2

或a≥

3

2

}．
（2）当x=1时，f（x）=f（1），
根据题意，对于任意的x∈[0，1），f（x）≥f（1）恒成立，
当a≥1时，由f（x）≥f（1），得
x²+2x（x²-a）≥3-2a，
即2a（x-1）≤2x³+x²-3，①
∵x∈[0，1），
①等价于2a≥

2x3+x2-3

x-1

，
∴2a≥2x²+3x+3，
∴2a≥2+3+3．
∴a≥4；
当0＜a≤1时，由f（x）≥f（1），得
x²-2x（x²-a）Φ（x²-a）≥2a-1．
当

a

≤x≤1时，x²-2x（x²-a）≥2a-1，
∴2a（x-1）≥2x³-x²-1，②
∵x∈[0，1），②成立，等价于2a≤

2x3-x2-1

x-1

，
∴2a≤2x²+x+1，
∴2a≤2a+

a

+1，
当0≤x＜

a

，x²+2x（x²-a）≥2a-1，
∴2a（x+1）≤2x³+x²+1，③
∵x∈[0，1），
③成立，得
2a≤

2x3+x2+1

x+1

，
∴2a≤2x²-x+1．
若

a

≤

1

4

时，0＜a≤

1

16

，2a≤2(

a

)2-

a

+1，
所以a≤1，结合条件，得
0＜a≤

1

16

；
若

a

＞

1

4

时，

1

16

＜a≤1，2a≤1-

1

8

，
所以a≤

7

16

，结合条件，
得

1

16

＜a≤

7

16

；
综上，0＜a≤

7

16

或a≥4．

点评：本题重点考查了分段函数、恒成立问题，函数的单调性、分类讨论思想等知识，属于比较难的题．