Question

7．已知cosα=$\frac{3}{5}$，cos（α-β）=$\frac{{7\sqrt{2}}}{10}$，且0＜β＜α＜$\frac{π}{2}$，那么β=（　　）

• A． $\frac{π}{12}$
• B． $\frac{π}{6}$
• C． $\frac{π}{4}$
• D． $\frac{π}{3}$

Answer 1

分析 由α和β的范围，求出β-α的范围，然后由cosα和cos（α-β）的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sinα和sin（β-α）的值，然后由β=（β-α）+α，利用两角和的余弦函数公式化简后，根据特殊角的三角函数值即可求出β的度数．

解答 解：由0＜α＜β＜$\frac{π}{2}$，得到0＜β-α＜$\frac{π}{2}$，又cosα=$\frac{3}{5}$，cos（α-β）=cos（β-α）=$\frac{{7\sqrt{2}}}{10}$，
所以sinα=$\sqrt{1-co{s}^{2}α}$=$\frac{4}{5}$，sin（β-α）=-sin（α-β）=-$\sqrt{1-co{s}^{2}（α-β）}$=-$\frac{\sqrt{2}}{10}$，
则cosβ=cos[（β-α）+α]
=cos（β-α）cosα-sin（β-α）sinα
=$\frac{{7\sqrt{2}}}{10}$×$\frac{3}{5}$-（-$\frac{\sqrt{2}}{10}$）×$\frac{4}{5}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
所以β=$\frac{π}{4}$．
故选：C．

点评 此题考查学生灵活运用同角三角函数间的基本关系及两角和的余弦函数公式化简求值，是一道基础题．做题时注意角度的变换，属于基础题．