Question

6．已知向量$\overrightarrow m=（{sin（\frac{π}{2}-x），-\sqrt{3}cosx}）$，$\overrightarrow n=（{sinx，cosx}）$，f（x）=$\overrightarrow m•\overrightarrow n$．
（1）求f（x）的最大值和对称轴；
（2）讨论f（x）在$[{\frac{π}{6}，\frac{2π}{3}}]$上的单调性．

Answer 1

分析 （1）利用向量的数量积以及两角和与差的三角函数化简函数的解析式，通过正弦函数的最值以及对称轴求解即可．
（2）利用正弦函数的单调增区间，转化求解即可．

解答 解：（1）f（x）=$\overrightarrow m•\overrightarrow n$=sinxcosx-$\sqrt{3}$cos²x=
cosxsinx-$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$（1+cos2x）=$\frac{1}{2}sin2x-\frac{{\sqrt{3}}}{2}cos2x=sin（2x-\frac{π}{3}）-\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
所以最大值为$\frac{{2-\sqrt{3}}}{2}$，由2x-$\frac{π}{3}$=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，所以对称轴 x=$\frac{kπ}{2}+\frac{5π}{12}$，k∈Z
（2）当x∈$[{\frac{π}{6}，\frac{2π}{3}}]$时，$0≤2x-\frac{π}{3}≤π$，从而当$0≤2x-\frac{π}{3}≤\frac{π}{2}$，$即\frac{π}{6}≤x≤\frac{5π}{12}$时，
f（x）单调递增
当$\frac{π}{2}≤2x-\frac{π}{3}≤π，即\frac{5π}{12}≤x≤\frac{2π}{3}时$，f（x）单调递减
综上可知f（x）在$[\frac{π}{6}，\frac{5π}{12}]$上单调递增，在$[\frac{5π}{12}，\frac{2π}{3}]$上单调减．

点评 本题考查向量的数量积以及三角函数化简求值，正弦函数的单调性以及函数的最值的求法，考查转化思想以及计算能力．